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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 1 - Números reales (Anterior)

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7. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real.
j) {x∈R ∣ 6x22x−5>3x}\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ \frac{6x^2}{2x-5}>3x\right\}

Respuesta

Reducimos la expresión a una sola fracción 6x22x−5>3x\frac{6x^2}{2x-5}>3x 6x22x−5−3x1>0\frac{6x^2}{2x-5}-\frac{3x}{1}>0 6x2−3x(2x−5)2x−5>0\frac{6x^2-3x\left(2x-5\right)}{2x-5}>0 6x2−6x2+15x2x−5>0\frac{6x^2-6x^2+15x}{2x-5}>0 15x2x−5>0\frac{15x}{2x-5}>0  

Tal como se explica en el video de inecuaciones, al tener una división cuyo resultado es menor a cero (>0)(>0), la única posibilidad para que ocurra esto es que tanto numerador como denominador tengan el mismo signo. De esta forma podemos platear dos casos:   

Caso 1:
15x>015x>0   y   2x−5>02x-5>0
x>015x>\frac{0}{15}    y  2x>52x>5
x>0x>0   y   x>52x>\frac{5}{2}  2024-03-09%2016:16:23_4060713.png 

Los valores de xx que cumplen estas condiciones son los valores x>52x>\frac{5}{2}. Por lo tanto la solución del caso 1 estará dada por los valores de xx pertenecientes al conjunto (52,+∞)\left(\frac{5}{2},+\infty\right).  


Caso 2:
15x<015x<0   y   2x−5<02x-5<0
x<015x<\frac{0}{15}   y   2x<52x<5
x<0x<0   y   x<52x<\frac{5}{2}

 2024-03-09%2016:16:15_9967754.png 
Los valores de xx que cumplen estas condiciones son los valores x<0x<0. Por lo tanto la solución del caso 2 estará dada por los valores de xx pertenecientes al conjunto (−∞,0)\left(-\infty,0\right).




Por lo tanto la solución total será la unión de ambas soluciones: S1∪S2S_1 \cup S_2 Solución: x∈(−∞,0)∪(52,+∞)x\in \left(-\infty,0\right) \cup \left(\frac{5}{2},+\infty\right).


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